A new duality transform

Continuing our search for dualities in different classes of functions, which usually turn out to have an essentially unique form, depending on the class, we exhibit a natural class of functions for which there are exactly two different types of duality transforms. One is the well known Legendre transform, and the other is new. We study the new transform, give a simple geometric interpretation for it, and present some applications. To cite this article: S. Artstein-Avidan, V. Milman, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Une nouvelle transformée de dualité. Dans le cadre de notre étude de la dualité pour différentes classes de fonctions, souvent déterminée d’une façon unique par la classe, on exhibe une classe naturelle pour laquelle il y a exactement deux types de transformés de dualité. Une est la transformée de Legendre, et l’autre est nouvelle. Ces deux transformées ont des interprétations géométriques simples. On donne plusieurs applications des résultats. Pour citer cet article : S. Artstein-Avidan, V. Milman, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Version française abrégée On introduit le concept de « dualité abstraite » par : Definition (Dualité Abstraite). On dira qu’une transformée T génère une transformée de dualité sur un ensemble S de fonctions sur R si on a les proprietés suivantes : 1. Pour toute f ∈ S on a T T f = f . 2. Pour tout couple de fonctions f,g ∈ S telles que f g, on a T f T g. Cette definition est motivée par des résultats récents. Dans [3] on a demontré que sur une classe de fonctions convexes semi-continues sur R, il y a, essentiellement, une seule dualité – la transformée de Legendre qui est bien ✩ Both authors were supported in part by the Israel Science Foundation: the first named author by grant No. 865/07, the second named author by grant No. 491/04. The authors were also supported in part by BSF grant No. 2006079. E-mail addresses: [email protected] (S. Artstein-Avidan), [email protected] (V. Milman). 1631-073X/$ – see front matter © 2008 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2008.09.031 1144 S. Artstein-Avidan, V. Milman / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008) 1143–1148 connue. Plus précisement, on désigne la classe des fonctions convexes s.c.i. φ : R → R ∪ {±∞} par Cvx(R). On note 〈·,·〉 le produit scalaire usuel sur R. On rappelle la definition classique de la transformée de Legendre pour des fonctions φ :Rn →R∪ {±∞} par : (Lφ)(x)= sup y (〈x, y〉 − φ(y)). (1) On a demontré dans [3] : Theorème A Supposons qu’une transformée T : Cvx(Rn)→ Cvx(R) (définie sur tout Cvx(R)) satisfait les conditions de Dualité Abstraite. Alors, T est essentiellement la transformée de Legendre classique, c.a.d. qu’il existe une constante C0 ∈R, un vecteur v0 ∈Rn et une transformation symétrique B ∈ GLn tels que (T φ)(x)= (Lφ)(Bx + v0)+ 〈x, v0〉 +C0. Des résultats du analogues ont été demontrés très récemment. Avant d’avoir achevé la démonstration du Théorème A, Böröczky et Schneider [5] ont demontré que sur une classe de corps convexes dans R il y a (essentiellement) une seule dualité (classique). Plus précisément, notons K(0)(R) la classe des corps convexes et compacts dans R dont l’intérieur contient 0. On a : Theorème B (Böröczky–Schneider). Soit n 2. Supposons qu’on ait une transformée T : K(0)(R) → K(0)(R) (définie sur tout K(0)(R)) satisfaisant : 1. T T K =K . 2. K1 ⊂K2 implique T K1 ⊃ T K2. Alors, T est essentiellement la transformée de polarité (·)◦ habituelle qui envoie le corps K sur le corps polaire K◦ défini par K◦ = {x: supy∈K 〈x, y〉 1}. Plus précisément, il existe une transformation symétrique B ∈ GLn, telle que pour tout K , T K = BK◦. Dans [4] nous avons demontré la même résultat pour la classe plus grande des corps convexes fermés qui contiennent 0 (peut-être sur la frontière). On remarque qu’aucun de ces deux theorèmes n’implique l’autre. Si on note K0(R) la classe des ensembles convexes fermés dans R qui contiennent 0, on a Theorème C (Voir [4].) Soit n 2. Supposons qu’on ait une transformée T :K0(Rn)→K0(Rn) satisfaisant (1.) et (2.) du Theorème 2 ci-dessus, alors il existe B ∈ GLn, symétrique telle que pour tout K , T K = BK◦. Le même énoncé est vrai dans la classe des espaces normés sur R (voir [6] et [5]), pour des cônes convexes [8] et de nombreux autres cas (voir [2]). On remarque que dans tous les théorèmes ci-dessus on peut remplacer la condition d’involution par la condition plus faible que la transformée est inversible et que l’inverse renverse également l’ordre, et on obtient le même resultat modulo des termes linéaires. Il est assez evident de dire que sur une classe naturelle de fonctions il existe (essentiellement) une unique transformée de dualité. Il est donc surprenant de constater qu’un changement très “naturel” de la classe de fonctions introduit une (nouvelle !) dualité supplémentaire. Soit Cvx0(R) la classe des fonctions convexes s.c.i. f : R → [0,∞], qui prennent la valeur 0 en 0. La transformée de Legendre opère de façon invariante sur cette classe et ainsi représente une dualité sur la classe (conformément à la définition de dualité abstraite donnée ci-dessus). On considère la transformée suivante : (Af )(x)= { sup{y∈Rn: f (y)>0} 〈x,y〉−1 f (y) si x ∈ {f (y)= 0}◦, +∞ si x / ∈ {f (y)= 0}◦ (avec la convention sup∅ = 0). Il est évident que A préserve l’ordre, et on peut démontrer que A est une involution (cela se déduit par exemple de l’interprétation géométrique de la transformée ci-dessous). C’est donc encore une “dualité abstraite” sur cette classe. On observe d’autres propriétés de cette dualité. Pour toute norme ‖ · ‖, on a (A‖ · ‖)(y) = ‖y‖∗, où ‖x‖∗ = sup{〈x, y〉: ‖y‖ 1} est la norme duale. En fait, pout tout puissance p 1 on a A(‖ · ‖p)= p−1 (‖x‖∗)p . p·q S. Artstein-Avidan, V. Milman / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008) 1143–1148 1145 On peut montrer que cette deuxième dualité dans la classe Cvx0(R) est la seule autre possibilité, plus précisement on a : Theorème 1. Soit n 2. Toute involution sur Cvx0(R) qui renverse l’ordre est soit de la forme f → (Lf ) ◦ B soit ou de la forme f → C0(Af ) ◦B pour un B ∈ GLn symétrique et C0 > 0.